Riepilogo di Geometria - Triangoli, Parallelogrammi...

Riepilogo di geometria

In ogni triangolo ci sono:
Tre altezze
Tre mediane
Tre bisettrici

Mediana: Unisce un vertice con il lato opposto.

Bisettrice: Divide l’angolo in due parti uguali.

Altezza: Segmento che parte da un vertice ed arriva perpendicolare al lato opposto.


Criteri di uguaglianza dei triangoli
Primo criterio di uguaglianza: Se due triangoli hanno rispettivamente uguali due lati e l'angolo compreso fra essi, allora i due triangoli sono uguali.
Secondo criterio di uguaglianza: Se due triangoli hanno rispettivamente uguali due angoli e il lato tra essi compreso, allora i due triangoli sono uguali.
Terzo criterio di uguaglianza: Se due triangoli hanno, fra loro, tutti e tre i lati uguali, allora i due triangoli sono uguali.


Teorema sui triangoli isosceli
Primo teorema: In un triangolo isoscele, gli angoli alla base sono uguali.
Secondo teorema: Se due lati di un triangolo sono uguali, allora sono uguali anche i lati opposti a essi, per cui il triangolo è isoscele.


Teorema sulla somma degli angoli interni di un triangolo
Teorema: La somma degli angoli interni di un triangolo è uguale a un angolo piatto.
Corollario 1: In ogni triangolo, ciascun angolo esterno è uguale alla somma dei due angoli interni non adiacenti.

Criteri di parallelismo delle rette
Parallelismo di rette tagliate da una trasversale: Due rette del piano sono parallele se e solo se, tagliate da una trasversale, formano:
Due angoli alterni (interni o esterni) uguali oppure
Due angoli corrispondenti uguali, oppure
Due angoli coniugati (interni o esterni) supplementari.

Relazioni fra i lati e relazioni fra gli angoli di un poligono
Disuguaglianza poligonale: In ogni poligono ciascun lato è minore della somma di tutti gli altri.
Somma degli angoli interni di un poligono: La somma degli angoli interni di un poligono è uguale a tanti angoli piatti quali sono i lati, meno un angolo giro.


Parallelogrammi

Parallelogramma: Si dice parallelogramma ogni quadrilatero avente i lati opposti a due a due paralleli.
Criteri per riconoscere i parallelogrammi: Un quadrilatero è un parallelogramma se verifica almeno uno dei seguenti requisiti:
Criterio 1: Ha un centro di simmetria;
Criterio 2: Ha i lati opposti uguali a due a due;
Criterio 3: Ha gli angoli opposti uguali a due a due;
Criterio 4: Ha una coppia di lati opposti uguali e paralleli.


Rettangoli

Rettangolo: Si dice rettangolo ogni parallelogramma avente tutti gli angoli uguali (e quindi retti). Ogni triangolo gode di tutte le proprietà dei parallelogrammi.


Rombi

Rombo: Si dice rombo ogni parallelogramma che ha tutti i lati uguali.

Teorema sulle diagonali di un rombo: Le rette su cui giacciono le diagonali di un rombo:
1: Sono perpendicolari;
2: Bisecano gli angoli interni;
3: Sono assi di simmetria del rombo.


Quadrati

Quadrato: Si dice quadrato ogni quadrilatero che ha tutti i lati uguali e tutti gli angoli uguali. Il quadrato è simmetrico rispetto al punto O in cui si intersecano le sue diagonali (centro del quadrato) e ammette quattro assi di simmetria, che si intersecano in O: le rette delle diagonali (perché è un rombo) e gli assi dei lati (perché è un rettangolo).


Trapezi

Trapezio: Si dice trapezio ogni quadrilatero che ha una coppia di lati opposti paralleli e gli altri due lati non paralleli. I lati paralleli di un trapezio si dicono basi e si distinguono in base maggiore e in base minore. I due lati opposti non paralleli vengono chiamati lati o lati obliqui. La distanza fra le rette che contengono le basi, si dice altezza del trapezio.



Circonferenza e cerchio

Circonferenza e cerchio: Dati un punto O e un segmento r, chiamiamo:
Circonferenza: Luogo dei punti equidistanti dal centro.
Cerchio: L’area.
Corde e diametri: Si dicono corde i segmenti che uniscono due punti di una circonferenza. Le corde passanti per il centro vengono dette diametri. Ogni diametro divide la circonferenza in due semicirconferenze e il cerchio in due semicerchi.

Altri teoremi sulla circonferenza: In una stessa circonferenza (o in circonferenze uguali) due corde sono uguali se e solo se hanno la stessa distanza dal centro.
Secondo teorema: Per tre punti non allineati, passi una e una sola circonferenza.
Angolo al centro e arco di circonferenza: Data una circonferenza di centro O, si dice angolo al centro ogni angolo con il vertice nel punto O. Un arco di circonferenza (o semplicemente arco) è l’intersezione tra una circonferenza e un suo angolo al centro.
Angolo alla circonferenza: Si dice angolo alla circonferenza un angolo convesso con il vertice sulla circonferenza e con i lati entrambi secanti alla circonferenza, oppure con un lato secante e uno tangente.
Teorema su angoli al centro e alla circonferenza: Un angolo al centro è doppio di ogni angolo alla circonferenza che insiste sullo stesso arco.
Rette tangenti a una circonferenza per un punto esterno: Per un punto esterno a una circonferenza si possono tracciare due e due sole tangenti.


Poligoni inscritti e circoscritti

Poligoni inscritti e circoscritti: Un poligono si dice inscritto in una circonferenza o in un cerchio quando tutti i suoi vertici appartengono alla circonferenza; la circonferenza e il cerchio si dicono allora circoscritti al poligono.

Un poligono si dice circoscritto a una circonferenza o a un cerchio quando tutti i suoi lati sono tangenti alla circonferenza; la circonferenza e il cerchio si dicono allora inscritti nel poligono.

Circocentro: Punto di incontro delle assi di un triangolo.
Ortocentro: Punto di incontro delle altezze di un triangolo.
Incentro: Punto di incontro delle bisettrici di un triangolo.
Baricentro: Punto di incontro delle mediane di un triangolo.

Quadrilateri inscritti o circoscritti a un cerchio: Un quadrilatero è inscrivibile in una circonferenza se e solo se i suoi angoli opposti sono supplementari (180°).
Un quadrilatero convesso è circoscrivibile a un cerchio se e solo se la somma di due suoi lati opposti è uguale alla somma degli altri due.
Poligono regolare: Un poligono si dice regolare quando ha tutti i lati uguali e tutti gli angoli uguali.
Teorema: Se una circonferenza è divisa in n archi uguali, il poligono che si ottiene congiungendo successivamente i punti di divisione è regolare.
Teorema: Se si divide una circonferenza in n parti uguali il poligono limitato dalle tangenti alla circonferenza condotte nel punto di divisione, è regolare.